Если загранпаспорт заканчивает действие в июне, но билеты родители хотят приобрести сейчас (загранпаспорта готовы будут в течение месяца) можно ли купить билеты в Турцию по старому паспорту, а лететь по новым?

Норм. Была такая история, в новом паспорте штамп ставят со старыми данными.

В билет вносятся паспортные данные актуального паспорта, или платить за переоформление билета.

Нет нельзя! По дурости взяла билет на старый паспорт и меняла паспортные данные часов семь за доплату и с такоц простыней переписок и дозвонов что не советую и начинать. Из жуковского летела не помню кем.

Номера паспортов в билете - это чисто российская фишка. Если покупать на сайтах турецких авиакомпаний, то там не нужны данные паспорта. Если покупать на российских сайтах, то данные паспорта нужны и они должны соответствовать документу, по которому будет осуществляться перелёт. Если не соответствуют, то нужно вносить изменения. Это может быть легко (у Аэрофлота например) или не очень легко (у какого-нибудь продавца билетов).

На сайте аэрофлота поменять паспортные данные после получения новых паспортов займет пару минут, по другим авиалиниям не подскажу, к сожалению.