Может кто подсказать что будет если göç idaresi отказала в выдаче икамет, а срок пребывания истёк, можно ли это оспорить через суд?

Можно оспорить через суд если этого не сделать то будет 10 дней на выезд.

Срок истёк, вам нужно выехать. Обычно нужно подовать документы за 2недели до окончания визы что бы не было так, как в вашем случае. Можно было в течении 10 дней подать повторно. Сейчас, если у вас прошёл срок визы не можете подать повторно.

Нет нужно покинуть страну.