Теудат-Зеут после прохождения консульской проверке. В этот же день выдают? Или нужно отдельно записываться, чтобы его получить?

Его выдают в мвд. И нет, не всегда это в тот же день. Зависит от города. В тель авиве уже месяц надо после консула ждать тз Где-то ещё дают сразу.