Можно ли подать на ВНЖ Турции в одном районе, а после получения переехать в другой и направить что-то типа извещения о смене адреса? Какие в этом варианте есть ограничения?

Нет.

Если вы делаете в внж в открытом районе и потом переезжаете тоже в открытый район, то оповещаете göç İdaresi о смене адреса. Раньше нужно было туда ехать для этого, сейчас вроде бы на сайте можно заполнить форму. В любом случае, вам лучше позвонить по номеру 157 и узнать точную информацию.