Скажите, можно ли сделать картон с открытой датой в хостелах, без аренды койко-места?

Теоретически да, на практике тут в одном хостеле отказали. Но можно поискать

Да. Так делают. Но имейте ввиду, что в электронной системе, которой пользуются хосеклы, гостиницы и пр, видно точные даты проживания, даже если на бумаге стоит открытая дата. Для визаранов такая штука годна.