По прилету в Сербию с животным нужно его где-то ещё регистрировать?

Нигде не надо регаться, это не ЕС. Даже прививки можно в российский паспорт поставить.

Мы нигде не регистрировали и вообще за весь путь у нас даже паспорта на животных нигде не спросили, Не слышала, что нужно где-то регистрировать