Подскажите пожалуйста, на Новый год срок пребывания в Турции (60 дней) - обнуляется или нет? Или где можно узнать точную информацию, «а сколько осталось»?

Не обнуляется. Считаются дни, проведённые здесь за 180 дней. Есть калькулятор безвизовых дней. Попробуйте поиском поискать.

Посчитайте сколько были суммарно не за год, а за полгода до въезда. Вычитаете эти дни из 90. Это и будет ваше разрешённое пребывание. Но не более 60 и остаток после выезда вьезда. Иначе говоря, в любом окне в 180 пребывание не должно быть более 90 дней.

От сегодняшнего дня отсчитываете назад 183 дня и считаете, сколько дней провели в Турции в этот период.