нас разные аэропорты в Стамбуле, и покупали на сайтах авиакомпаний, багаж же забираем, с ним переезжаем в старый аэропорт и по новой сдаём, правильно?

Да, конечно, если у вас разные аэропорты вам нужно забрать багаж и сдать в другом. У вас не трансфер.

Правильно.

Только не будет ли у вас проблем с вывозом наличных из Турции?