Если находимся по визе C более 1 мес в Венгрии, нужно как-то регистрироваться по месту пребывания дополнительно?

В Венгрии нет требований по регистрации.

Вряд ли это кому то нужно При наличии визы вы можете перемещаться в границах ЕС, в этом нет нарушения, а проверять это сложно.