Скажите, пожалуйста, если 2 загранпаспорта, можно ли по одному въехать в Турцию, а выехать по другому, например, в Северный Кипр, и т. п.?

Или въехать по старому, а на ВНЖ подать по новому?

Можно, но будет куча вопрос. И сроки будут считаться криво. Лучше так не делать. Выезжаете по тому по которому въехали. А уже на Кипре покажите другой.