Для зачисления ребёнка в школу в Барселоне необходима справка о проживании в Испании, что это за справка такая, где её получать?

Справка о проживании, я так понимаю, это - прописка. Вам надо заключить договор с владельцем квартиры, что бы вас вписали. Это будет назваться «domicilio”.

Empadronamiento , в ayuntamiento делают.