На границе на кота документы спрашивают?

Могут и не спросить. А если спросят, а у вас нет ничего, придётся бедного кота выгонять на погибель в степь. Имеют полное право потребовать ветеринарный паспорт международного образца с прививками и с чипом. Поторопитесь в ветеринарную клинику, это недорого и быстро, но лучше заранее.