Не могу записаться в консульство РФ в Белграде - на странице выбора дат нельзя менять месяц и не понятно когда ближайшая доступная дата. Подскажите пожалуйста, как решить такую проблему призаписи?

Это просто уже нет места в записи, только записываться в очередь и проверять раз в день, может удастся поймать время. Но если у вас есть визы в другие страны, лучше пробуйте там, очень велик шанс что и не попадете в Белграде. В Сараево тоже самое.