Чтобы получить пермит B, подходит ли регистрация на Airbnb / Booking ? Если найти жилье в соседней деревне (того же кантона) могут ли быть проблемы?

Лучше поговорить с арендодателем - могут ли они сделать регистрацию. В целом - может быть что угодно, даже отель. Но если я не ошибаюсь - жилье должно быть арендовано на месяц минимум. Наверное, стоит временное жилье найти на месяца 2: вы зарегистрируетесь, вас запишут на биометрию для пермита (в моем случае было + 1.5 месяца), от подачи до получения самого пермита 2-3 недели (могут быть задержки). Наверное можно пробовать переезжать в это время, но я не рисковал.

Я когда переезжала сначала жила в одной деревне (работодатель предоставлял) первые три месяца, потом переехала в соседний «город», проблем никаких не возникло. Пермит L был.