в российское консульство в Ереване смогут из России отправить загранпаспорт, на который я подал месяц назад?

Лучше позвоните им напрямую и спросите.

Нет, пересылкой документов никто не занимается, если вы подавали в МФЦ.

Получать можно только там, где подавался на паспорт.