Подскажите. можно ли снять квартиру в измире на месяц в бюджете ~700$?

Можно, но придется поискать.

Забейте в поисковик İzmir günlük kiralık daire, потом выберите сайт Sahibinden, там вполне нормальные варианты, а не только зачуханные мотели;)

Конечно можно. можно и дороже, если деньги позволяют. самое дешёвое ~ 1000 лир.