Мы снимаем кв на пол года. Табличку на кв нам поменяют. А обязательно ли в ней регистрироваться/прописываться? И если да, просить ли это внести в договор аренды?

Без прописки Вам не пришлют налоговый номер. Без него Вы счёт открыть не сможете. А без счёта - за квартиру платить. Поэтому ответ самый правильный.

1. Обязательно. 2. Нет. Вносить это в договор аренды не нужно, потому что всем и так очевидно, что Вы будете там регистрироваться.

Куда переезжаете, там и регистрируетесь каждый раз как в первый раз (в ратушу за Meldebescheinigung)