В России иностранным туристам нужно регистрироваться в местах пребывания (отели, хостелы), или достаточно миграционной карты, что выдают на границе, чтобы не было никаких проблем?

Добрый день! Да, нужно регистрироваться. Но если Вы живёте в отеле, то это его обязанность Вас зарегистрировать (обычно всё делается онлайн). Формально они должны выдать подтверждение (если регистрировать лично или на почте - это отрывной лист с печатью, как в онлайне - не знаю). Но по факту не помню, чтобы когда-то кто-то спрашивал их на границе при выезде.