Можно ли сделать ВНЖ в Алании, а затем снимать жилье в Стамбуле?

Делайте внж в Стамбуле сразу.

Вы не имеете права жить в одном городе , а внж иметь в другом . Это грозит аннулированием при проверке.

Сколько это стоит и сколько времени надо?

А смысл? В Стамбуле наоборот дешевле ВНЖ)

Так нельзя. Если Вы оформили внж в Стамбуле, то не имеете право менять местожительство.