При оплате аренды квартиры заключается договор с собственником. Это понятно. А нотариальный договор делается в этот же день или как оно обычно происходит?

У всех по-разному, зависит от ситуации. Можно в тот же, можно позже. Проблем в этом нет.

По вашему желанию. Из за ВНЖ делаются нотариально заверенные договор аренды.