Подскажите, пожалуйста, каким способом можно пополнить счет в банке(можно ли наличкой) и нужны ли документы подтверждающие откуда средства?

Если наличкой то попробуйте внести на карту через банкомат. У меня счёт с sabadel, операции с наличкой не разрешены у них для русских паспортов в отделении. Или уже Свифт с Райфайзен. При открытии счёта Вы подавали справки ндфл, далее банк будет их запоганивать ежегодно или реже через личный кабинет.