какой банк может открыть счёт с минимальным количеством проблем и без огромных депозитов и комиссий?

С минимальным количеством - Юнибанк, без конских депозитов и комиссий - прочие банки )

С таким набором документов в Армении откроет только Юнибанк. Но там конские цены для нерезидентов. Остальные банки дешевле, но они просят справки о доходах 2-ндфл, трудовой договор в РФ, выписки со счетов российских банков. Плюс вы продаёте заявку и ждёте от недели до двух-трех недель ответа. А жилье в Армении дорогое. Неделя отдельного номера в недорогой гостинице выходит в 20 тыс рублей. Дополню. Некоторые банки ещё просят договор долгосрочной аренды жилья в Армении. Без этого договора можно пробовать податься в Араратбанк и Ардшинбанк. Но остальные требования те же.