Привет. При отсутствии прописки в России, есть ли какая-то регистрация в посольстве?

Прописка ставится в паспорт гражданина РФ (внутренний), если вы постоянно проживаете за рубежом, то для чего вам прописка? Более того, многие граждане РФ снимаются с регистрационного контроля при переезде за рубеж. Да, по закону гражданин РФ должен иметь постоянную или временную регистрацию, при ее отсутствии на вас может быть наложен штраф. Но опять таки, все зависит от вашей ситуации - может у вас есть второе гражданство и вы постоянно проживаете за рубежом, то тогда вам не нужна прописка и вы просто делаете листок по убытию и все.

«По закону должна быть прописка у гражданина» - нет. Можно стать на консульский учёт, если хочется.