Подскажите пожалуйста, если человек был в Азербайджане, пустят ли в армению и можно ли с этим паспортом сделать внж?

Пустят, можно. могут допросить на этот счёт при въезде, особенно если бывали часто/долго, но не более того.

Если посещал как турист соседнюю страну, то могут просто на погранконтроле спросить цель визита туда. Если жил долгое время, работал там имел вид на жительство и так далее то скорее это не будет плюсом в при рассмотрении предоставления вида на жительства. По понятным причинам.