Скажите пожалуйста, как в Ереване получить разрешение на работу? И регистрация нужна для работы?

Гражданам России в Армении вроде не нужно разрешение на работу, разве нет?

Вам нужен SSN (номер соцстраха), трудовой договор, загружаете это всё на workpermit. am. Это даёт вам право на ВНЖ на время действия договора. Тут, в общем-то, заявительный характер допуска к работе.