Подскажите, пожалуйста, гражданам Армении нужна прописка чтобы открыть счёт в банке?

Для открытия счёта у нерезидентов запрашивают 2НДФЛ (можно запросить на госуслугах) или трудовой договор. В банке необходимо оставить заявку, пришлют анкету, ее надо заполнить, решение через несколько рабочих дней.

Да. Ещё банки могут просить проживание в Армении от 6 месяцев, иначе даже гражданам отказывают открывать счёт (на условиях резидентов)