Подскажите, пожалуйста, как надёжнее всего добраться из района Фатих в аэропорт?

Можно двумя вариантами, в зависимости от того, что Вам ближе. От метро Aksaray на автобусе Havaist (HVIST-12). Или на метро до Taksim. Там пешком метров 200 до отеля Point. Там остановка автобуса Havaist - маршрут HVIST-16. Они идут до нового аэропорта.

Если до аэропорта Сабиха Гёкчен, то от Таксим.