Я прилетаю в Казахстан, у меня есть 30 дней пребывания. Первую неделю останавливаюсь в отеле. Дальше хочу искать квартиру в аренду. - Как мне получить продление до 90 дней? В какой момент и куда делать уведомление? Что для этого нужно?

Вам лучше на официальном сайте миграционной КЗ почитать

После того как найдете и арендуете квартиру, попросите хозяина квартиры подать уведомление на «визово-миграционном портале». Для этого необходим компьютер, интернет и ЭЦП хозяина квартиры.

Это надо в органы миграционной службы.

А если собственник жилья не захочет делать через egov (это местные госуслуги), то вам придется с ним договориться и явиться вместе в миграционку, чтобы подать уведомление. Не забудьте прихватить ксерокопию вашего паспорта, по которому границу пересекли (если по заграну, значит загран, если по внутреннему, значит внутренний) Они прям на обратной стороне ксерокопии паспорта распечатают бланк и вы его заполните.