Подскажите пожалуйста, что делать, если собственник квартиры не хочет подавать уведомление в миграционку, в миграционке сказали что могут быть сложности если дальше хотите вылетать из Казахстана?

Отмазываться он может еще из за того, если ему до этого было вынесено 2 предупреждения за не подачу уведомления о проживающих иностранцах, тогда уведомления от него миграционкой уже больше не принимаются. Каких либо санкций к вам за отсутствие уведомления от принимающей стороны законодательством РК не предусмотрено, здесь специально раздувается этот миф арендодателями и местными помогайками, чтобы рубить на приезжих бабло на уведомлениях.