Я утерял свое свидетельство о рождении. Могу ли я его получить через посольство или мне нужно ехать в Россию для этого?

Вы можете сделать по-другому: В консульстве сделать доверенность на третье лицо Оно получит повторное свидетельство за вас, поставить апостиль и пришлет вам в Аргентину.