Подскажите пожалуйста, сейчас есть платная возможность ускоренного получения DNI для старшего ребёнка и родителей новорожденного аргентинца? Если да, то сколько по времени займёт процесс получения готовой карточки?

Таких процедур нет. Из платного есть только ускоренная процедура собеседования, но смысла в ней особого нет.

Если взяты пальцы, то технически карточки можно попросить ускорить, нужно обоснование и как минимум отказаться от доставки домой, срок тогда сутки, трое или до 5-7 дней обычный срок от 15-30+ дней.