Подскажите, пожалуйста, на Апостиль на свидетельство о рождении и свидетельство о браке по почте в другую страну отсылать в гор. ЗАГС или в МИД? Кто должен поставить?

Это лучше выяснить в другой стране. Например, в Беларуси повторное свидетельство выдает ЗАГС города, где был рожден. А апостиль ставят в министерстве юстиции в Минске.

ЗАГС ставит.