Подскажите, есть ли возможность сделать регистрацию по месту жительства в Грузии ? Или как можно быстро попасть в консульство чтоб сделать доверенность и сняться с регистрации в России ?

Да, надо идти с собственником квартиры или с заявлением от собственника в дом юстиции, они там регистрируют. Форму заявления можно там же взять, лучше зайдите и уточните, какой пакет документов нужен.