Можно ли в Турции получить ВНЖ в одном городе, а жить в другом, есть ли с этим проблемы?

Вообще вы должны прописаться там, где получили ВНЖ и там жить. Правда непонятно, как это монтируется с тем, что вы турист. Но в любом случае постоянно жить в другом месте нельзя. Если обнаружат - аннулируют ВНЖ. В Анталии, например, полиция ходит по домам и проверяет.