В одном офисе сказали что страховкой можно начинать пользоваться только спустя 9 месяцев с её оформления. Это во всех компаниях так?

а до этого "лечись сам"? страховка в любой стране мира действует с даты её подписания и оплаты.

Если речь про страховку для ВНЖ - то есть какой-то период охлаждения, и не распространяется на хронические заболевания.