Возможно ли подать документы на оформление загран паспорта в консульстве и в это время выехать ненадолго в другую страну по старому, пока будут делать?

Проблем быть не должно, консульство не отслеживает пересечение границы ОАЭ.

Если вы на резидент визе, то нет проблем. Если вы на турист визе и паспорт срок меньше 6 месяцев, то в ОАЭ не пустят.