Можно ли купить недельный тур в турагентстве и остаться в Турции на 60 дней?

Можно.

Конечно можно, только желательно заселиться в отель и предупредить отельного гида о том, что на обратный трансфер не нужен! Мед. страховку тоже нужно сделать отдельно на 60 дней, желательно (перед вылетом в Турцию), чтобы она действовала.