при пересечении воздушной границы (если это важно) спрашивают обратные билеты и/или бронь проживания? Могут, например, не пустить без обратных билетов?

Не спрашивают.

В марте в Стамбуле нас заставили купить билет куда угодно. Без него не давали посадочный. Но только часть пассажиров, не знаю почему. Хотя у нас было даже приглашение на работу.