Хотел узнать, возможно ли сейчас продлить загранпаспорт в посольстве в посольстве России в Турции, если у меня до конца срока действия осталось 5 месяцев?

Вот прям как сейчас не знаю, но считается, что минимум пол года да и то в консульстве Трабзона (там меньше народу).

Вас в Турцию не пустят со сроком действия менее 120 дней Ищите варианты в Казахстане и прочих странах СНГ где можно находиться по внутреннему паспорту РФ.