обязательно ли после выселения из отеля сразу (в течение суток) регистрироваться по месту жительства в арендованной квартире?

Да. Если вы едете в другой город может быть перерыв. В случае проживания менее трёх дней в каждом из нескольких населённых пунктов. При перемене адреса пребывания в Узбекистане на сутки и более (поездка в гости, путешествие), если срок пребывания иностранного гражданина в каждом конкретном населённом пункте республики не превышает трёх суток, при наличии документов, подтверждающих факт пребывания (документы, подтверждающие получение услуг или приобретения товаров), они освобождаются от регистрации.

Обязательно. перерывов не должно быть.