Подскажите пожалуйста, если подаваться на Грин карту будучи официально не замужем , могу я в течение этого времени оформить официально брак и вместе ехать?

Распишитесь до подачи на грин карту.

Можно и Тур визу и на розыгрыш DV Lottery подать.

Подаете только за себя, в случае выигрыша если статус изменится нужно будет внести изменения и приложить свидетельство о браке.