Подскажите, кто уезжал с семьей, какие документы нужно взять с собой и нужно ли делать перевод/копии/заверять копии/делать апостиль на какие-то документы?

Если есть возможность заранее сделать переводы свидетельств о рождении детей и о браке, будет отлично, в наших странах это дешевле. Для подачи на айдикарту подойдут переводы, заверенные переводчиком. Попросите его сразу по несколько экземпляров сделать. Дальше - через полгода начнёт действовать гос. мед. страховка и вы наверняка захотите объединить семью в один план, чтобы не платить за каждого. Там нужен перевод этих же документов, но с печатью посольства РФ (где-то просто нотариально заверенный перевод подойдёт). И если есть дети - переводите на корейский личное дело и табели, прививочный лист. Если дети старше 6 класса, то личное дело и табели (а где-то и свидетельство о рождении) надо будет уже с апостилем. Вот это точно лучше заранее сделать, тут дольше и дороже.