Кто знает, пожалуйста, скажите, если есть российский загранпаспорт, можно ли сделать шенген россиянину в Армении?

Нет.

Вы шенген и вообще любую вижу можете делать в любой стране, где есть консульство нужной вам страны, хоть в Тринидад и Тобаго поедите придёте и подладите на шенген.