после перехода через границу наши операторы связи перестают работать?

Да.

На Рубцовской границе работало после прохождения ещё метров 600, потом глухо. Не знаю как на других.

Да, с этим проблемы. У меня заработала связь только в Усть-Каменогорске. И то без интернета, но это, возможно, проблемы моего тарифа. Крайне рекомендую сразу при первой возможности брать симку местного билайна, продавцы помогут активировать её (а это сложно). Но обязателен загран.