Можно ли получить регистрацию, если нет загранпаспорта и внж?

Регистрация - штамп в загранпаспорте, т. е. нет, не получится зарегистрироваться.

Да, но штамп на данный момент ставят в паспорт рф, что делает его недействительным. Релоканты встречались с министром экономики и предлагали изменение в виде штампа на отдельном листе, на данный момент ничего не поменялось. Но вы можете оставаться в Армении 180 дней без регистрации.