Объясните, пожалуйста - хозяин квартиры подал уведомление о нашем прибытии, теперь для оформления вида на жительство нужно какое-то нотариальное согласие на проживание, что это такое? Нам нужна ещё регистрация или что?

Хозяин пишет в свободной форме, что он предоставляет для проживания таким-то гражданами на такой-то срок свою квартиру по такому-то адресу, принадлежащих на правах собственности (например). И это всё заверяется у нотариуса.