Кто делал апостиль диплома в Москве, подскажите, пожалуйста, туда же можно подъехать подать документы без предварительной записи (а то там все слоты заняты), или в порядке живой очереди не пустят?

Можно по живой.

Слоты выбрасывают в 00: 00 по Мск. Раньше их разбирали меньше чем за минуту. Лайфхак такой: садишься в назначенное время и постоянно обновляешь страницу. А по поводу живой очереди там не просто раньше надо, а «сильно раньше».