Для перевозки вещей из России в Белград, в основном только одежда, никакой мебели, техники и т. д., лучше нанимать каких-то перевозчиков или покупать доп. места для багажа на самолете?

По мне так проще купить места дополнительные в багаже на самолёт, если ещё и не одни летите.

Если вещей не слишком много, то лучше самолетом везти с собой. Нам сумка в почти 20кг в Шереметьево обошлась в 4тыс рублей.