Есть ли ограничения по сроку нахождения вне Турции после получения икамета? например, если икамет получен до конца октября, но нужно выехать на месяц, не будет ли проблем со въездом и продлением?

Не переживайте по этому поводу абсолютно. Моя жена выезжала даже до того, как выдали икамет на руки(в момент изготовления). Нет ограничений на передвижение. Просто приехал курьер и выдал мне оба икамета. Периодически выезжаем на 2-3 недели по делам. Проблем нет.

Месяц можно, погуглите есть ограничения вроде на большие сроки.