Живём в Батуми, в Грузии, реально в черте Еревана за 350-400$ найти квартиру с кошкой?

Нет.

Три месяца назад дешевле 700$ ничего приличного найти не смог, и это без кошки. Убитые варианты были от 500$.

Рассмотрите другие города. Если без ребенка, то в Цахкадзоре есть хорошие квартиры от 400$ с современным ремонтом, 40 км до Еревана. Место чудесное, прожил там три месяца, даже скучаю.

Реально в Гюмри.